実行日時: 2026-08-28T09:13:58（ID: 20260828-091358-2bdb02） ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 実数 $x$ が $3 \cos x=\sin ^2 x$ を満たすとき， $\cos x$ の値は \fbox{ }である．\vspace{27ZW}
\item $17^n$ の 1 の位の数が 1 になる最小の自然数 $n$ は \fbox{ }である．また，17 ${ }^{555}$ の 1 の位の数を求めると， \fbox{ }である．
\vspace{27ZW}
\item $n$ を自然数とする。 $f_n(x)=x^{\frac{1}{n}} \log x(x>0)$ が $x=a_n$ で極小値をとるとき，$a_n=$\fbox{ }である．このとき，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$ \fbox{ }である．
\newpage
\item $i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ は $z^2=3-2 \sqrt{10} i$ を満たし，かつ $z$ の実部は正であるとする。このとき，$z$ の実部は\fbox{ }であり，虚部は\fbox{ }である．
\vspace{40ZW}
\item 座標空間において，点 $(-1,0,0)$ を通りベクトル $\vec{a}=(0,1,1)$ に平行な直線上の点と，点 $(0,0,4)$ を通りベクトル $\vec{b}=(1,2,0)$ に平行な直線上の点の距離の最小値は\fbox{ }である。
\end{enumerate}
\newpage
\item 1から 6 の番号がひとつずつ重複なくつけられた 6 つの箱がある。このとき，次の試行を行う．
さいころを 1 つ投げて，出た目の番号のついた箱に玉を 1 つ入れる．
この試行を繰り返し，いずれかの箱に玉が 3 個入った時点で終了する．ただし，1 回目の試行を行う前は，どの箱にも玉は 1 個も入っていないとする。終了するまでに行った試行の回数を $N$ とする。このとき，次の問( 1 )～( 5 )に答えよ。
\begin{enumerate}
\item $N$のとりうる最小値 $N_0$ と最大値 $N_1$ をそれぞれ求めよ．
\item $N=N_0$ となる確率を求めよ。
\item $N=N_0+1$ となる確率を求めよ。
\item 試行を6回行った時点で，すべての箱に1つずつ玉が入るという事象をAとする。また，$N=N_1$ となる事象を $B$ とする。事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件つき確率 $P_A(B)$ を求めよ．
\item $N=N_1$ となる確率を $P$ とするとき， $6^8 P$ は整数となる。その値を求めよ．
\end{enumerate}
\newpage
\item O を原点とする座標平面上に放物線 $C: y=x-x^2$ がある．$C$ 上の点 $\mathrm{P}\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$ における $C$ の接線を$l$ ，Q$(1，0)$における C の接線を $m$ とする．$l$ と $y$ 軸，$m$ と $y$ 軸の交点をそれぞれ R，Sとする。このとき，次の問（1）～（5）に答えよ。
\begin{enumerate}
\item $l, m$ の方程式をそれぞれ求めよ．
\item $C$ の $0 \leqq x \leqq 1$ の部分と，2 つの線分 QS，OS で囲まれた図形の面積 $A$ を求めよ．
\item $C$ の $0 \leqq x \leqq 1$ の部分と，線分 OQ で囲まれた図形を，$x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積$V_1$ を求めよ．
\item $C$ の $0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ の部分と，2 つの線分 $\mathrm{PR}, \mathrm{OR}$ で囲まれた図形を，$y$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 $V_2$ を求めよ．
\item $C$ の $0 \leqq x \leqq 1$ の部分と，線分 OQ で囲まれた図形を，$y$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積$V_3$ を求めよ．
\end{enumerate}
\newpage
\item $ m, a, b, c, d, e, f, r, s, t$ を自然数とする。このとき，次の問(1)～(5)に答えよ．ただし，(2)，(3)の事実は(4)，(5)で用いてよい。
\begin{enumerate}
\item 2 次方程式 $2 x^2+5 x+m=0$ の解が有理数となるような自然数 $m$ をすべて求めよ．ただし，$p$ が素数であるとき $\sqrt{p}$ が無理数であることを用いてよい．
\item 3 次方程式 $x^3+a x^2+b x+c=0$ の実数解は負であることを証明せよ．ただし，方程式 $x^3+a x^2+b x+c=0$が少なくとも 1 つの実数解を持つことは証明せずに用いてよい．
\item 3 次方程式 $x^3+d x^2+e x+f=0$ が整数 $n$ を解にもつとする。このとき，$n$ は $f$ の約数であることを証明せよ．
\item 3次方程式 $x^3+r x^2+r x+3=0$ が整数解を少なくとも 1つもつような自然数 $r$ をすべて求めよ．
\item 3次方程式 $x^3+s x^2+t x+6=0$ が異なる3つの整数を解にもつような自然数の組$(s, t)$をすべて求めよ．
\end{enumerate}
\end{enumerate}
GPT生成 解答TeX（検査前）
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$
\item $4$，$3$
\item $a_n=e^{-n}$，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\dfrac{1}{e-1}$
\item $\sqrt{5}$，$-\sqrt{2}$
\item $\sqrt{6}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $N_0=3$，$N_1=13$
\item $\dfrac{1}{36}$
\item $\dfrac{5}{72}$
\item $P_A(B)=\dfrac{5}{324}$
\item $5775$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $l:y=\dfrac{1}{4}$，$m:y=-x+1$
\item $A=\dfrac{1}{3}$
\item $V_1=\dfrac{\pi}{30}$
\item $V_2=\dfrac{\pi}{96}$
\item $V_3=\dfrac{\pi}{6}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $m=2,3$
\item 任意の$x\geqq0$に対して$x^3+ax^2+bx+c>0$であるから、実数解はすべて負である。
\item 整数解$n$について$f=-n(n^2+dn+e)$であるから、$n$は$f$の約数である。
\item $r=4$
\item $(s,t)=(6,11)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解答TeX（最終）
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$
\item $4$，$3$
\item $a_n=e^{-n}$，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\dfrac{1}{e-1}$
\item $\sqrt{5}$，$-\sqrt{2}$
\item $\sqrt{6}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $N_0=3$，$N_1=13$
\item $\dfrac{1}{36}$
\item $\dfrac{5}{72}$
\item $P_A(B)=\dfrac{5}{324}$
\item $5775$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $l:y=\dfrac{1}{4}$，$m:y=-x+1$
\item $A=\dfrac{1}{3}$
\item $V_1=\dfrac{\pi}{30}$
\item $V_2=\dfrac{\pi}{96}$
\item $V_3=\dfrac{\pi}{6}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $m=2,3$
\item 任意の$x\geqq0$に対して$x^3+ax^2+bx+c>0$であるから、実数解はすべて負である。
\item 整数解$n$について$f=-n(n^2+dn+e)$であるから、$n$は$f$の約数である。
\item $r=4$
\item $(s,t)=(6,11)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}