LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-09-19T16:10:36（ID: 20260919-161036-cbda11） ← 履歴一覧に戻る

¥item 3次関数$y=f(x)$がある。$f(0)=1~,~f'(0)=f'(1)=-3$であり、また極大値と極小値が存在して、それらの差が極値をとる$x$の値の差の絶対値に等しいという。このとき、関数$f(x)$を求めよ。

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¥item $a$を$0$でない実数とする。2次不等式$ax^2-2a^2x-3a^3 ¥LEQQ 0$の解の集合をA、$x^2-2x-3 ¥LEQQ 0$の解の集合をBとする。$A ¥cap B$が空集合となるような$a$の値の範囲を求めよ。

¥newpage

¥item 実数$a,b$が、$a^2+b^2+a+b=1$を満たしている。このとき、$a+b+ab$の値の最大値・最小値を求めよ。¥vspace{30ZW}

\begin{enumerate}
\item $f(x)=-6x^3+9x^2-3x+1$
\item $a<-3$
\item 最大値は$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、最小値は$-\dfrac{13}{8}$
\end{enumerate}

- 問題3(実数$a,b$の条件から$a+b+ab$の最大値・最小値を求める問題)は、実数条件($a,b$が実数となるための判別式条件)を用いて範囲を絞り込む問題であり、最大値・最小値を与える$a,b$の具体的な値(等号成立条件)が答えに含まれていない。数値計算により、最大値$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$は$a=b=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$のときに、最小値$-\dfrac{13}{8}$は$(a,b)=\left(\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4},\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\right)$(またはその入れ替え)のときに成立することを確認したため、これらを追加する必要がある。
- 問題1、問題2の答えは検算の結果、いずれも正しい。

\begin{enumerate}
\item $f(x)=-6x^3+9x^2-3x+1$
\item $a<-3$
\item 最大値は$a=b=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$のとき$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、最小値は$(a,b)=\left(\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4},\ \dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\right)$(または$a,b$を入れ替えたもの)のとき$-\dfrac{13}{8}$
\end{enumerate}