実行日時: 2026-09-19T16:54:31（ID: 20260919-165431-ab5526） ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
\begin{enumerate}
\item 次の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item $\cos 3\theta = -\dfrac{1}{2}$を満たす$\theta ~(0 \leqq \theta < 2 \pi)$を求めよ。
\item $(1)$で求めた$\theta$のうち最小のものを$\theta_1$とし、$\alpha = 2 \cos \theta_1$とおく。$\alpha$を解にもち、整数を係数とする3次方程式を$1$つ求めよ。
\item $(2)$で求めた方程式の$\alpha$と異なる$2$つの解を$\beta,\gamma~(\beta > \gamma)$とする。$\beta,\gamma$を、整数を係数とする$\alpha$の2次式で表せ。
\item $\alpha^2 \beta + \beta^2 \gamma + \gamma^2 \alpha$の値を求めよ。
\end{enumerate}
\begin{flushright}
$ \langle 横浜国大経済後期 2013 \rangle $
\end{flushright}
\newpage
\item $n$枚のカードがあり、$1$枚目のカードに$1$、$2$枚目のカードに$2$、$\cdots$、$n$枚目のカードに$n$が書かれている。これらの$n$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出してもとに戻し、もう一度無作為に$1$枚を取り出す。取り出されたカードに書かれている数をそれぞれ$x,y$とする。また、$k$を$n$の約数とする。
\begin{enumerate}
\item $x+y$が$k$の倍数となる確率を求めよ。
\item さらに$k=pq$とする。ただし、$p,q$は異なる素数である。$xy$が$k$の倍数となる確率を求めよ。
\end{enumerate}
\newpage
\item 複素数平面上の$3$点$A(\alpha),W(w),Z(z)$は原点$O(0)$と異なり、
\[ \alpha = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i~,~w = (1+\alpha)z+1+\bar{\alpha} \]
とする。ただし、$\bar{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする。$2$直線$OW,OZ$が垂直であるとき、次の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item $(1+\alpha)\beta + 1 + \bar{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ。
\item $|z-\alpha|$の値を求めよ。
\item $\triangle OAZ$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ。
\end{enumerate}
\begin{flushright}
$ \langle 2016 山形大学 \rangle $
\end{flushright}
\newpage
\item 一般項が$a_n = \dfrac{n!}{n^n}$で表される数列$\{ a_n \}$について、次の問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$を示せ。
\item $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ。
\item $2$以上の整数$k$に対して、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ。
\end{enumerate}
\begin{flushright}
$ \langle 2016 新潟大学 \rangle $
\end{flushright}
\end{enumerate}
GPT生成 解答TeX（検査前）
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\theta=\dfrac{2\pi}{9},\dfrac{4\pi}{9},\dfrac{8\pi}{9},\dfrac{10\pi}{9},\dfrac{14\pi}{9},\dfrac{16\pi}{9}$
\item $x^3-3x+1=0$
\item $\beta=\alpha^2-2,\quad \gamma=-\alpha^2-\alpha+2$
\item $6$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{k}$
\item $\dfrac{(2p-1)(2q-1)}{p^2q^2}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\beta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
\item $1$
\item $z=\alpha(1+i),\ \alpha(1-i)$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$
\item $e$
\item $e^{1-k}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Claudeによる指摘事項
- 問題4(1)は「$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$を示せ」という証明問題であるが、解答は結論を書き写しているだけで証明が示されていない。はさみうちの原理などを用いた証明を追加する必要がある。
- その他の設問(1(a)〜(d)、2(a)(b)、3(a)〜(c)、4(b)(c))は代入・検算により全て正しい値であることを確認した。
- 本問題群には相加相乗平均・コーシーシュワルツの不等式を用いた最大・最小問題は含まれていないため、等号成立条件の記載漏れは該当しない。
- TeX記法(dfrac、インライン数式、不等号記号、\newpage不使用など)について、指定ルールからの逸脱は見られない。
修正後の解答TeX（最終）
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\theta=\dfrac{2\pi}{9},\dfrac{4\pi}{9},\dfrac{8\pi}{9},\dfrac{10\pi}{9},\dfrac{14\pi}{9},\dfrac{16\pi}{9}$
\item $x^3-3x+1=0$
\item $\beta=\alpha^2-2,\quad \gamma=-\alpha^2-\alpha+2$
\item $6$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{k}$
\item $\dfrac{(2p-1)(2q-1)}{p^2q^2}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\beta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
\item $1$
\item $z=\alpha(1+i),\ \alpha(1-i)$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $0 < a_n = \dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdot\dfrac{3}{n}\cdots\dfrac{n}{n} \leqq \dfrac{1}{n}$である。ここで、$\dfrac{2}{n},\dfrac{3}{n},\ldots,\dfrac{n}{n}$はいずれも$1$以下であることを用いた。$n\to\infty$のとき$\dfrac{1}{n}\to0$であるから、はさみうちの原理より$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$である。
\item $e$
\item $e^{1-k}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}