実行日時: 2026-10-25T01:06:54（ID: 20261025-010654-1e6e05）／ 対象: 高校生(数学II・B)／ TikZ作図: なし ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥item $¥fbox{中抜け型}$ 次の数列の初項から第$n$項までの和を求めよ。
¥begin{enumerate}
¥item （復習）$¥displaystyle ¥sum_{k=1}^n ¥dfrac{1}{k(k+1)}$ ¥vspace{10ZW}
¥item $¥displaystyle ¥sum_{k=1}^n ¥dfrac{1}{¥sqrt{k}+¥sqrt{k+1}}$
¥vspace{10ZW}
¥end{enumerate}
追加指示 → 再生成
最新版（第1版）の最終解説をもとに、指示に従ってGPTが書き直し、Claudeが再検査します。
第1版（最新）
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解説TeX（最終）
\item 各項を2つの項の差に変形し、途中の項を打ち消す。
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$より、
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}
=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)
=1-\dfrac{1}{n+1}$。
したがって、求める和は$\boxed{\dfrac{n}{n+1}}$。
\item 分母を有理化すると、
$\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}
=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}
=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$。
よって、
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}
=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$。
途中の項が打ち消し合うので、求める和は$\boxed{\sqrt{n+1}-1}$。
\end{enumerate}
GPT生成 解説TeX（検査前）
\item 各項を2つの項の差に変形し、途中の項を打ち消す。
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$より、
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}
=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)
=1-\dfrac{1}{n+1}$。
したがって、求める和は$\boxed{\dfrac{n}{n+1}}$。
\item 分母を有理化すると、
$\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}
=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}
=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$。
よって、
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}
=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$。
途中の項が打ち消し合うので、求める和は$\boxed{\sqrt{n+1}-1}$。
\end{enumerate}