LaTeX 解説生成・検査パイプライン

第1版（最新）

Claudeによる指摘事項

- 5番目の問題の解説で、「両方が$-1\leqq t\leqq1$に入る条件は、$-\dfrac{1}{2}-\sqrt{a+1}\geqq-1$かつ$-\dfrac{1}{2}+\sqrt{a+1}\leqq1$、すなわち$\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{1}{2}$である」という部分で、「かつ」で結ばれた2つの条件($\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{1}{2}$と$\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{3}{2}$)から、なぜ最終的に前者のみが残るのか(より厳しい条件を採用する、という論理)の説明が省略されており、論理の飛躍がある。高校生が追えるよう、2つの条件を両方明示したうえで「厳しい方の条件が残る」旨を補足すべき。

修正後の解説TeX（最終）

\begin{enumerate}
\item
$t=\tan\theta$とおくと、倍角の公式より
$\dfrac{2t}{1-t^2}=3$であるから、$3t^2+2t=3$。

したがって、
$(1+3t)^2=1+3(3t^2+2t)=1+9=10$。

よって、求める値は$\boxed{10}$。

\item
$x+y=\dfrac{\pi}{3}$、$0\leqq y\leqq x$より、
$0\leqq x-y\leqq\dfrac{\pi}{3}$。

和積の公式から、
$\cos x+\cos y
=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
=\sqrt{3}\cos\dfrac{x-y}{2}$。

$0\leqq\dfrac{x-y}{2}\leqq\dfrac{\pi}{6}$なので、
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq\cos\dfrac{x-y}{2}\leqq1$。

よって、最大値は$x=y=\dfrac{\pi}{6}$のとき$\boxed{\sqrt{3}}$、
最小値は$x=\dfrac{\pi}{3}$、$y=0$のとき$\boxed{\dfrac{3}{2}}$。

\item
和積の公式より、$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$なので、
与えられた方程式は
$\sin2x(2\cos x+1)=0$となる。

したがって、$\sin2x=0$または$\cos x=-\dfrac{1}{2}$。
$0<x<\pi$より、それぞれ$x=\dfrac{\pi}{2}$、$x=\dfrac{2\pi}{3}$を得る。

よって、$\boxed{x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{2\pi}{3}}$。

\item
$\sin2x-\sqrt{3}\cos x=\cos x(2\sin x-\sqrt{3})$より、
求める条件は$\cos x(2\sin x-\sqrt{3})<0$である。

$\cos x>0$かつ$\sin x<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる範囲は、
$0\leqq x<\dfrac{\pi}{3}$、$\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$。

$\cos x<0$かつ$\sin x>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる範囲は、
$\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{2\pi}{3}$。

よって、求める範囲は
$\boxed{0\leqq x<\dfrac{\pi}{3},\quad
\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{2\pi}{3},\quad
\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi}$。

\item
$t=\cos x$とおく。$0\leqq x\leqq\pi$では、$t$は$1$から$-1$まで単調に減少するので、
異なる$t$の値には異なる$x$の値がただ$1$つずつ対応する。

$\sin^2x=1-t^2$より、与えられた方程式は
$4(1-t^2)-4t+4a-1=0$、
すなわち$\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2=a+1$となる。

異なる$2$つの実数解をもつ条件は$a>-1$であり、その解は
$t=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{a+1}$。

両方が$-1\leqq t\leqq1$に入る条件は、
$-\dfrac{1}{2}-\sqrt{a+1}\geqq-1$かつ
$-\dfrac{1}{2}+\sqrt{a+1}\leqq1$、
すなわち$\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{1}{2}$かつ$\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{3}{2}$である。
このうち厳しい方の条件が残るので、$\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{1}{2}$となる。

よって、求める範囲は$\boxed{-1<a\leqq-\dfrac{3}{4}}$。
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item
$t=\tan\theta$とおくと、倍角の公式より
$\dfrac{2t}{1-t^2}=3$であるから、$3t^2+2t=3$。

したがって、
$(1+3t)^2=1+3(3t^2+2t)=1+9=10$。

よって、求める値は$\boxed{10}$。

\item
$x+y=\dfrac{\pi}{3}$、$0\leqq y\leqq x$より、
$0\leqq x-y\leqq\dfrac{\pi}{3}$。

和積の公式から、
$\cos x+\cos y
=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
=\sqrt{3}\cos\dfrac{x-y}{2}$。

$0\leqq\dfrac{x-y}{2}\leqq\dfrac{\pi}{6}$なので、
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq\cos\dfrac{x-y}{2}\leqq1$。

よって、最大値は$x=y=\dfrac{\pi}{6}$のとき$\boxed{\sqrt{3}}$、
最小値は$x=\dfrac{\pi}{3}$、$y=0$のとき$\boxed{\dfrac{3}{2}}$。

\item
和積の公式より、$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$なので、
与えられた方程式は
$\sin2x(2\cos x+1)=0$となる。

したがって、$\sin2x=0$または$\cos x=-\dfrac{1}{2}$。
$0<x<\pi$より、それぞれ$x=\dfrac{\pi}{2}$、$x=\dfrac{2\pi}{3}$を得る。

よって、$\boxed{x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{2\pi}{3}}$。

\item
$\sin2x-\sqrt{3}\cos x=\cos x(2\sin x-\sqrt{3})$より、
求める条件は$\cos x(2\sin x-\sqrt{3})<0$である。

$\cos x>0$かつ$\sin x<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる範囲は、
$0\leqq x<\dfrac{\pi}{3}$、$\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$。

$\cos x<0$かつ$\sin x>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる範囲は、
$\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{2\pi}{3}$。

よって、求める範囲は
$\boxed{0\leqq x<\dfrac{\pi}{3},\quad
\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{2\pi}{3},\quad
\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi}$。

\item
$t=\cos x$とおく。$0\leqq x\leqq\pi$では、$t$は$1$から$-1$まで単調に減少するので、
異なる$t$の値には異なる$x$の値がただ$1$つずつ対応する。

$\sin^2x=1-t^2$より、与えられた方程式は
$4(1-t^2)-4t+4a-1=0$、
すなわち$\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2=a+1$となる。

異なる$2$つの実数解をもつ条件は$a>-1$であり、その解は
$t=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{a+1}$。
両方が$-1\leqq t\leqq1$に入る条件は、
$-\dfrac{1}{2}-\sqrt{a+1}\geqq-1$かつ
$-\dfrac{1}{2}+\sqrt{a+1}\leqq1$、
すなわち$\sqrt{a+1}\leqq\dfrac{1}{2}$である。

よって、求める範囲は$\boxed{-1<a\leqq-\dfrac{3}{4}}$。
\end{enumerate}