実行日時: 2026-10-31T17:05:58（ID: 20261031-170558-7fff84）／ 対象: 高校生(数学I・A)／ TikZ作図: なし ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥begin{enumerate}
¥item 次の関数の最大値・最小値を求めよ。
¥begin{edaenumerate}<3>
¥item $y=2x^2~~(-2 ¥LEQQ x ¥LEQQ 5)$
¥item $y=3(x-2)^2-3~~(1 ¥LEQQ x ¥LEQQ 5)$
¥item $y=3x^2-6x+1~~(-4 ¥LEQQ x ¥LEQQ 2)$
¥end{edaenumerate}
¥vspace{25ZW}
¥item 周囲の長さが$30cm$である長方形の面積の最大値を求めよ。
¥vspace{17ZW}
¥item $1$辺の長さが$50$cmの正方形$ABCD$がある。点$P$は$A$を出発して、辺$AB$上を毎分$3$cmの速さで$B$に向かって進み、点$Q$は$P$と同時に$B$を出発して、辺$BC$上を毎分$4$cmの速さで$C$に向かって進む。$Q$が$C$に達するまでの間で、線分$PQ$の長さの最小値および、その時点で$P,Q$が出発してからの経過時間を求めよ。
¥newpage
¥item $y=-x^2+4$と直線$y=3x$の交点を$x$座標の小さいほうから$A,B$とする。
¥begin{enumerate}
¥item $A,B$の$x$座標を求めよ。¥vspace{10ZW}
¥item 放物線上の$A$と$B$の間の区間に、点$P$をとって、$¥triangle APB$を作る。点$P$の$x$座標を$p$とするとき、$¥triangle ABP$の面積を$p$を用いて表せ。¥vspace{10ZW}
¥item $(2)$のとき、$¥triangle APB$の面積の最大値を求めよ。¥vspace{10ZW}
¥end{enumerate}
¥item $y=-x^2+4x+a~(-1 ¥LEQQ x ¥LEQQ 4)$について、次の各問いに答えよ。
¥begin{description}
¥item[(1)] $y$の最大値が$2$となるような$a$の値を求めよ。
¥vspace{8ZW}
¥item[(2)] $(1)$のとき、$y$の最小値を求めよ。
¥vspace{8ZW}
¥end{description}
¥item 関数$y=ax^2+2ax+b~~(-2 ¥LEQQ x ¥LEQQ 1)$の最大値が$6$、最小値が$3$であるように、定数$a$、$b$の値を定めよ。
¥newpage
¥item $y=x^2-2x+2$の定義域が$(t ¥LEQQ x ¥LEQQ t+2)$であるとき、次の各場合における$y$の最大値・最小値をそれぞれ求めよ。
¥begin{edaenumerate}<2>
¥item $t=-3$ ¥vspace{20ZW}
¥item $t=0$¥vspace{20ZW}
¥item $t <-1$ ¥vspace{25ZW}
¥item $-1 ¥LEQQ t < 0$¥vspace{25ZW}
¥item $0 ¥LEQQ t < 1$
¥item $1 ¥LEQQ t$
¥end{edaenumerate}
¥newpage
¥item $0 ¥LEQQ x ¥LEQQ 2$を定義域とする関数$y=3x^2-6ax+2$の最大値・最小値を次の場合に分けてそれぞれ求めよ。
¥begin{edaenumerate}
¥item[(1)] $a=1$
¥vspace{13ZW}
¥item[(2)] $a=-3$
¥vspace{13ZW}
¥item[(3)] $a ¥LEQQ 0$
¥vspace{23zw}
¥item[(4)] $0<a<1$
¥vspace{23zw}
¥item[(5)] $1 <a <2$
¥vspace{23zw}
¥item[(6)] $a ¥GEQQ 2$
¥end{edaenumerate}
¥end{enumerate}
追加指示 → 再生成
最新版（第1版）の最終解説をもとに、指示に従ってGPTが書き直し、Claudeが再検査します。
第1版（最新）
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解説TeX（最終）
\begin{enumerate}
\item 上に開く放物線では、軸に近い点ほど$y$の値が小さく、遠い点ほど大きい。
\begin{edaenumerate}<3>
\item 軸は$x=0$で、定義域内にある。軸から最も遠い端点は$x=5$である。
よって、最大値は$x=5$のとき$50$、最小値は$x=0$のとき$0$。
\item 軸は$x=2$で、定義域内にある。軸から最も遠い端点は$x=5$である。
よって、最大値は$x=5$のとき$3\cdot 3^2-3=24$、最小値は$x=2$のとき$-3$。
\item 平方完成すると、$y=3(x-1)^2-2$。
軸$x=1$は定義域内にあり、軸から最も遠い端点は$x=-4$である。
よって、最大値は$x=-4$のとき$3\cdot 25-2=73$、最小値は$x=1$のとき$-2$。
\end{edaenumerate}
\item 長方形の一辺を$x\,\mathrm{cm}$とすると、隣り合う辺は$(15-x)\,\mathrm{cm}$で、$0<x<15$である。
面積を$S\,\mathrm{cm}^2$とすると、
$S=x(15-x)=-\left(x-\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{225}{4}$。
よって、一辺が$\dfrac{15}{2}\,\mathrm{cm}$の正方形のとき、面積の最大値は$\boxed{\dfrac{225}{4}\,\mathrm{cm}^2}$。
\item 出発してから$t$分後とすると、$Q$が$C$に達するまでの範囲は$0\leqq t\leqq \dfrac{25}{2}$である。
$BP=50-3t$、$BQ=4t$であり、$\angle PBQ=90^\circ$だから、三平方の定理より
$PQ^2=(50-3t)^2+(4t)^2=25t^2-300t+2500=25(t-6)^2+1600$。
$t=6$は上の範囲内にあるので、$PQ^2$の最小値は$1600$。
したがって、$PQ$の最小値は$\boxed{40\,\mathrm{cm}}$、経過時間は$\boxed{6\text{分}}$。
\item
\begin{enumerate}
\item $-x^2+4=3x$より、$x^2+3x-4=0$。
$(x+4)(x-1)=0$だから、$A$の$x$座標は$\boxed{-4}$、$B$の$x$座標は$\boxed{1}$。
\item $P(p,-p^2+4)$で、$-4<p<1$である。
$P$を通る鉛直な直線と線分$AB$との交点を$R$とすると、$R(p,3p)$である。
この範囲では$P$は$R$より上にあり、$PR=-p^2-3p+4$。
$\triangle APR$と$\triangle BPR$で$PR$を底辺とした高さは、それぞれ$p+4$、$1-p$である。
よって、求める面積は
$\dfrac{1}{2}PR(p+4)+\dfrac{1}{2}PR(1-p)
=\boxed{\dfrac{5}{2}(-p^2-3p+4)}$。
\item 面積を$S$とすると、
$S=\dfrac{5}{2}(-p^2-3p+4)
=-\dfrac{5}{2}\left(p+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{125}{8}$。
$p=-\dfrac{3}{2}$は$-4<p<1$を満たすので、面積の最大値は$\boxed{\dfrac{125}{8}}$。
\end{enumerate}
\item 平方完成すると、$y=-(x-2)^2+a+4$。
\begin{description}
\item[(1)] 軸$x=2$は定義域内にあるので、最大値は$a+4$。
$a+4=2$より、$\boxed{a=-2}$。
\item[(2)] $a=-2$のとき、$y=-(x-2)^2+2$。
軸から最も遠い端点$x=-1$で最小となり、その値は$-9+2=-7$。
よって、最小値は$\boxed{-7}$。
\end{description}
\item 平方完成すると、$y=a(x+1)^2+b-a$。
$-2\leqq x\leqq 1$では、$0\leqq (x+1)^2\leqq 4$である。
$a=0$では定数関数となるので、最大値と最小値が異なることに反する。
$a>0$のとき、最大値は$3a+b$、最小値は$b-a$だから、
$3a+b=6$、$b-a=3$。
差をとると$4a=3$となり、$a=\dfrac{3}{4}$、$b=\dfrac{15}{4}$。
$a<0$のとき、最大値は$b-a$、最小値は$3a+b$だから、
$b-a=6$、$3a+b=3$。
差をとると$-4a=3$となり、$a=-\dfrac{3}{4}$、$b=\dfrac{21}{4}$。
したがって、
$\boxed{(a,b)=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{15}{4}\right),\ \left(-\dfrac{3}{4},\dfrac{21}{4}\right)}$。
\item $y=(x-1)^2+1$より、軸は$x=1$である。
両端での値は、$x=t$で$t^2-2t+2$、$x=t+2$で$t^2+2t+2$であり、後者から前者を引くと$4t$となる。
\begin{edaenumerate}<2>
\item 定義域は$-3\leqq x\leqq -1$で、全体が軸の左側にある。
最大値は$x=-3$のとき$\boxed{17}$、最小値は$x=-1$のとき$\boxed{5}$。
\item 定義域は$0\leqq x\leqq 2$で、軸を含む。
最大値は$x=0,2$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{1}$。
\item $t+2<1$なので、定義域全体が軸の左側にある。
最大値は$x=t$のとき$\boxed{t^2-2t+2}$、最小値は$x=t+2$のとき$\boxed{t^2+2t+2}$。
\item 定義域は軸を含む。また、$t<0$より、左端での値のほうが大きい。
最大値は$x=t$のとき$\boxed{t^2-2t+2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{1}$。
\item 定義域は軸を含む。また、$t\geqq 0$より、右端での値が左端での値以上である。
最大値は$x=t+2$のとき$\boxed{t^2+2t+2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{1}$。
ただし、$t=0$では$x=t$でも最大となる。
\item 定義域全体が軸上または軸の右側にある。
最大値は$x=t+2$のとき$\boxed{t^2+2t+2}$、最小値は$x=t$のとき$\boxed{t^2-2t+2}$。
\end{edaenumerate}
\item 平方完成すると、$y=3(x-a)^2+2-3a^2$で、軸は$x=a$である。
端点での値は、$x=0$で$2$、$x=2$で$14-12a$。
その差は$(14-12a)-2=12(1-a)$である。
\begin{edaenumerate}
\item[(1)] 軸$x=1$は定義域内にあり、両端での値は等しい。
最大値は$x=0,2$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{-1}$。
\item[(2)] 軸$x=-3$は定義域の左側にあるので、定義域では$x$が増えると$y$も増える。
最大値は$x=2$のとき$\boxed{50}$、最小値は$x=0$のとき$\boxed{2}$。
\item[(3)] 定義域全体が軸上または軸の右側にある。
最大値は$x=2$のとき$\boxed{14-12a}$、最小値は$x=0$のとき$\boxed{2}$。
\item[(4)] 軸は定義域内にあり、$a<1$より、$x=2$での値のほうが大きい。
最大値は$x=2$のとき$\boxed{14-12a}$、最小値は$x=a$のとき$\boxed{2-3a^2}$。
\item[(5)] 軸は定義域内にあり、$a>1$より、$x=0$での値のほうが大きい。
最大値は$x=0$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=a$のとき$\boxed{2-3a^2}$。
\item[(6)] 定義域全体が軸上または軸の左側にある。
最大値は$x=0$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=2$のとき$\boxed{14-12a}$。
\end{edaenumerate}
\end{enumerate}
GPT生成 解説TeX（検査前）
\begin{enumerate}
\item 上に開く放物線では、軸に近い点ほど$y$の値が小さく、遠い点ほど大きい。
\begin{edaenumerate}<3>
\item 軸は$x=0$で、定義域内にある。軸から最も遠い端点は$x=5$である。
よって、最大値は$x=5$のとき$50$、最小値は$x=0$のとき$0$。
\item 軸は$x=2$で、定義域内にある。軸から最も遠い端点は$x=5$である。
よって、最大値は$x=5$のとき$3\cdot 3^2-3=24$、最小値は$x=2$のとき$-3$。
\item 平方完成すると、$y=3(x-1)^2-2$。
軸$x=1$は定義域内にあり、軸から最も遠い端点は$x=-4$である。
よって、最大値は$x=-4$のとき$3\cdot 25-2=73$、最小値は$x=1$のとき$-2$。
\end{edaenumerate}
\item 長方形の一辺を$x\,\mathrm{cm}$とすると、隣り合う辺は$(15-x)\,\mathrm{cm}$で、$0<x<15$である。
面積を$S\,\mathrm{cm}^2$とすると、
$S=x(15-x)=-\left(x-\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{225}{4}$。
よって、一辺が$\dfrac{15}{2}\,\mathrm{cm}$の正方形のとき、面積の最大値は$\boxed{\dfrac{225}{4}\,\mathrm{cm}^2}$。
\item 出発してから$t$分後とすると、$Q$が$C$に達するまでの範囲は$0\leqq t\leqq \dfrac{25}{2}$である。
$BP=50-3t$、$BQ=4t$であり、$\angle PBQ=90^\circ$だから、三平方の定理より
$PQ^2=(50-3t)^2+(4t)^2=25t^2-300t+2500=25(t-6)^2+1600$。
$t=6$は上の範囲内にあるので、$PQ^2$の最小値は$1600$。
したがって、$PQ$の最小値は$\boxed{40\,\mathrm{cm}}$、経過時間は$\boxed{6\text{分}}$。
\item
\begin{enumerate}
\item $-x^2+4=3x$より、$x^2+3x-4=0$。
$(x+4)(x-1)=0$だから、$A$の$x$座標は$\boxed{-4}$、$B$の$x$座標は$\boxed{1}$。
\item $P(p,-p^2+4)$で、$-4<p<1$である。
$P$を通る鉛直な直線と線分$AB$との交点を$R$とすると、$R(p,3p)$である。
この範囲では$P$は$R$より上にあり、$PR=-p^2-3p+4$。
$\triangle APR$と$\triangle BPR$で$PR$を底辺とした高さは、それぞれ$p+4$、$1-p$である。
よって、求める面積は
$\dfrac{1}{2}PR(p+4)+\dfrac{1}{2}PR(1-p)
=\boxed{\dfrac{5}{2}(-p^2-3p+4)}$。
\item 面積を$S$とすると、
$S=\dfrac{5}{2}(-p^2-3p+4)
=-\dfrac{5}{2}\left(p+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{125}{8}$。
$p=-\dfrac{3}{2}$は$-4<p<1$を満たすので、面積の最大値は$\boxed{\dfrac{125}{8}}$。
\end{enumerate}
\item 平方完成すると、$y=-(x-2)^2+a+4$。
\begin{description}
\item[(1)] 軸$x=2$は定義域内にあるので、最大値は$a+4$。
$a+4=2$より、$\boxed{a=-2}$。
\item[(2)] $a=-2$のとき、$y=-(x-2)^2+2$。
軸から最も遠い端点$x=-1$で最小となり、その値は$-9+2=-7$。
よって、最小値は$\boxed{-7}$。
\end{description}
\item 平方完成すると、$y=a(x+1)^2+b-a$。
$-2\leqq x\leqq 1$では、$0\leqq (x+1)^2\leqq 4$である。
$a=0$では定数関数となるので、最大値と最小値が異なることに反する。
$a>0$のとき、最大値は$3a+b$、最小値は$b-a$だから、
$3a+b=6$、$b-a=3$。
差をとると$4a=3$となり、$a=\dfrac{3}{4}$、$b=\dfrac{15}{4}$。
$a<0$のとき、最大値は$b-a$、最小値は$3a+b$だから、
$b-a=6$、$3a+b=3$。
差をとると$-4a=3$となり、$a=-\dfrac{3}{4}$、$b=\dfrac{21}{4}$。
したがって、
$\boxed{(a,b)=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{15}{4}\right),\ \left(-\dfrac{3}{4},\dfrac{21}{4}\right)}$。
\item $y=(x-1)^2+1$より、軸は$x=1$である。
両端での値は、$x=t$で$t^2-2t+2$、$x=t+2$で$t^2+2t+2$であり、後者から前者を引くと$4t$となる。
\begin{edaenumerate}<2>
\item 定義域は$-3\leqq x\leqq -1$で、全体が軸の左側にある。
最大値は$x=-3$のとき$\boxed{17}$、最小値は$x=-1$のとき$\boxed{5}$。
\item 定義域は$0\leqq x\leqq 2$で、軸を含む。
最大値は$x=0,2$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{1}$。
\item $t+2<1$なので、定義域全体が軸の左側にある。
最大値は$x=t$のとき$\boxed{t^2-2t+2}$、最小値は$x=t+2$のとき$\boxed{t^2+2t+2}$。
\item 定義域は軸を含む。また、$t<0$より、左端での値のほうが大きい。
最大値は$x=t$のとき$\boxed{t^2-2t+2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{1}$。
\item 定義域は軸を含む。また、$t\geqq 0$より、右端での値が左端での値以上である。
最大値は$x=t+2$のとき$\boxed{t^2+2t+2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{1}$。
ただし、$t=0$では$x=t$でも最大となる。
\item 定義域全体が軸上または軸の右側にある。
最大値は$x=t+2$のとき$\boxed{t^2+2t+2}$、最小値は$x=t$のとき$\boxed{t^2-2t+2}$。
\end{edaenumerate}
\item 平方完成すると、$y=3(x-a)^2+2-3a^2$で、軸は$x=a$である。
端点での値は、$x=0$で$2$、$x=2$で$14-12a$。
その差は$(14-12a)-2=12(1-a)$である。
\begin{edaenumerate}
\item[(1)] 軸$x=1$は定義域内にあり、両端での値は等しい。
最大値は$x=0,2$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=1$のとき$\boxed{-1}$。
\item[(2)] 軸$x=-3$は定義域の左側にあるので、定義域では$x$が増えると$y$も増える。
最大値は$x=2$のとき$\boxed{50}$、最小値は$x=0$のとき$\boxed{2}$。
\item[(3)] 定義域全体が軸上または軸の右側にある。
最大値は$x=2$のとき$\boxed{14-12a}$、最小値は$x=0$のとき$\boxed{2}$。
\item[(4)] 軸は定義域内にあり、$a<1$より、$x=2$での値のほうが大きい。
最大値は$x=2$のとき$\boxed{14-12a}$、最小値は$x=a$のとき$\boxed{2-3a^2}$。
\item[(5)] 軸は定義域内にあり、$a>1$より、$x=0$での値のほうが大きい。
最大値は$x=0$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=a$のとき$\boxed{2-3a^2}$。
\item[(6)] 定義域全体が軸上または軸の左側にある。
最大値は$x=0$のとき$\boxed{2}$、最小値は$x=2$のとき$\boxed{14-12a}$。
\end{edaenumerate}
\end{enumerate}